Fondamentaux de mathématiques appliquées
1. Introduction
Au quotidien, que ce soit en observant une voiture, une balle qui tombe ou un robot qui effectue des tâches, nous assistons constamment à des phénomènes dynamiques. Ces phénomènes, sont, la plupart du temps, simple à décrire et à appréhender. Pourtant, décrire le mouvement et la position de manière quantifiable requiert des régles rigoureuses nous permettant de décrire de manière universel l’état d’un objet, de prédire avec precision sa position dans le temps, et même de le contrôler. Mais pourquoi et comment les mathématiques nous aident-elles à comprendre ce qui se passe autour de nous ?
Pour commencer, lorsqu’on parle de décrire des phénomènes physiques, on cherche souvent à répondre à des questions simples : où se trouve un objet ? Quand et comment se déplace-t-il ? La position d’un objet, son mouvement, et même sa vitesse sont des concepts qui peuvent être décrits de manière précise grâce aux mathématiques. Ces descriptions nous permettent de passer du monde observé à un monde où l’on peut manipuler les idées et les concepts pour prédire ou influencer des résultats.
1.2 Localiser un Objet dans l’espace
La première question que l’on se pose pour décrire le monde autour de nous est souvent “Où ?”. La notion de position est fondamentale. En utilisant des outils mathématiques comme les vecteurs, nous pouvons définir la position d’un point ou d’un objet dans un espace donné. Ce n’est plus seulement un endroit abstrait : c’est une position mesurable, avec des coordonnées spécifiques qui nous permettent de visualiser et de manipuler cet objet dans notre raisonnement.
Par exemple, dans un espace à trois dimensions (3D), nous pouvons définir la position d’un point avec trois coordonnées : \(x\), \(y\), et \(z\), qui nous disent où se trouve cet objet par rapport à un point de référence.
1.2 Mouvement : Comprendre le Changement de Position
Décrire la position d’un objet n’est que le début. Souvent, pour décrire un comportement dynamique, nous voulons pouvoir décrire ce mouvement. C’est ici que les notions de vecteurs, matrices, et autres outils mathématiques jouent un rôle central. En comparant les positions d’un objet à différents moments, nous obtenons des informations sur sa direction et magnitude de déplacement, c’est-à-dire son mouvement.
Les mathématiques nous permettent non seulement de décrire ce mouvement de manière précise, mais également de créer des modèles pour prévoir où se trouvera un objet à l’avenir, en fonction de sa trajectoire actuelle.
1.3 Vitesse : La Mesure du Changement dans le Temps
Une fois que nous avons décrit où se trouve un objet et comment il se déplace, la prochaine question est souvent : “À quelle vitesse ?”. La vitesse est un concept essentiel pour comprendre l’intensité du mouvement, et elle peut être mesurée en comparant les changements de position d’un objet sur une certaine période de temps.
Grâce aux mathématiques, nous avons des formules pour calculer cette vitesse et même pour décrire comment elle évolue dans le temps. Cela permet, par exemple, de contrôler des machines pour qu’elles opèrent avec une grande précision. Dans ce contexte nous devrons introduire le principe de différenciations (la dérivés) qui nous permet d’étudier la variation du mouvement par rapport au temps. En d’autre terme nous essaierons de déterminer comment évolue la variation de mouvement au cours du temps.
Dans ce cours, nous allons explorer ensemble comment les mathématiques, avec leurs structures logiques et rigoureuses, offrent un langage universel pour modéliser les phénomènes physiques.
En comprenant ce langage, nous serons capables de :
- Décrire précisément la position et le mouvement des objets.
- Prédire l’évolution de ces objets dans le temps.
- Contrôler et ajuster les mouvements pour accomplir des tâches précises, comme en robotique.
Les mathématiques ne sont pas simplement des chiffres et des équations, elles sont un moyen de rendre le monde tangible, mesurable et, surtout, compris. Au fur et à mesure de ce cours, vous gagnerez en intuitions et vous serez capable d’anticiper et d’appréhender les phénomènes dynamique afin de résoudre des problèmes d’ingénieurie.
Prêts à plonger dans cet univers fascinant ? Commençons par les concepts de base. N’hésitez pas à visiter d’autres ressources (livres, site web, tutoriels) afin de maitriser ces conceptes.