II. Algèbre Linéaire
L’algèbre linéaire est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les structures vectorielles et les systèmes d’équations linéaires. Elle fournit des outils essentiels pour résoudre des problèmes complexes en mécanique, en robotique, en physique, et dans de nombreux autres domaines scientifiques et techniques.
1. Introduction à l’Algèbre Linéaire
L’algèbre linéaire s’intéresse principalement à l’étude des espaces vectoriels, des transformations linéaires, et des matrices. Elle permet de modéliser et de résoudre des systèmes d’équations linéaires, d’analyser des transformations géométriques, et de comprendre les propriétés structurelles des espaces vectoriels. Bien que l’algèbre linéaire s’applique sounvent à des problèmes réel, il est également possible de poser des problèmes abstrait.
2. Équations Linéaires et Systèmes d’Équations
2.1 Équations Linéaires
Une équation linéaire en \( n \) variables est une équation de la forme :
où :
- \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont les variables inconnues.
- \( a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{K} \) sont des coefficients constants (avec \( \mathbb{K} \) un corps, généralement \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)).
- \( b \in \mathbb{K} \) est un terme constant.
Cette équation représente une hyperplane dans un espace vectoriel de dimension \( n \).
2.2 Systèmes d’Équations Linéaires
Un système d’équations linéaires est un ensemble de \( m \) équations linéaires à \( n \) inconnues :
où \( a_{ij} \in \mathbb{K} \) et \( b_i \in \mathbb{K} \).
Objectif : Trouver les vecteurs \( \vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T \) qui satisfont simultanément toutes les équations du système.
Exemple Tangible
Considérons le système suivant :
Notre objectif est de déterminer les valeurs de \( x \) et \( y \) qui satisfont simultanément ces deux équations.
3. Manipulation des Systèmes d’Équations : Opérations Élémentaires
Pour résoudre un système d’équations linéaires, nous pouvons utiliser des opérations élémentaires qui transforment le système en un système équivalent (ayant le même ensemble de solutions). Ces opérations sont :
-
Permutation des équations : Changer l’ordre des équations du système.
-
Multiplication d’une équation par un scalaire non nul : Si \( \lambda \in \mathbb{K}^* \), remplacer une équation \( E_i \) par \( \lambda E_i \).
-
Ajout à une équation d’une combinaison linéaire d’autres équations : Remplacer une équation \( E_i \) par \( E_i + \lambda E_j \), où \( \lambda \in \mathbb{K} \) et \( E_j \) est une autre équation.
Remarque : Ces opérations sont légitimes car elles ne modifient pas l’ensemble des solutions du système.
Règles de Manipulation
- Objectif : Simplifier le système pour le résoudre plus facilement.
- Élimination des variables : Utiliser les opérations pour annuler certains coefficients, facilitant ainsi la résolution des variables restantes.
4. Introduction aux Matrices
4.1 Définition d’une Matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, disposés en lignes et en colonnes. Formulée de manière générale :
où :
- \( a_{ij} \in \mathbb{K} \) est l’élément de la \( i \)-ème ligne et \( j \)-ème colonne.
- \( m \) est le nombre de lignes.
- \( n \) est le nombre de colonnes.
4.2 Matrices Associées aux Systèmes Linéaires
Pour un système linéaire, nous pouvons définir :
-
La matrice des coefficients \( A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \) : [ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} ]
-
Le vecteur des inconnues \( \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \).
-
Le vecteur des constantes \( \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \).
Le système s’écrit alors :
4.3 Matrice Augmentée
La matrice augmentée \( [A | \vec{b}] \) est obtenue en ajoutant le vecteur \( \vec{b} \) comme dernière colonne de \( A \) :
5. Méthode du Pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss est une technique algorithmique pour résoudre les systèmes d’équations linéaires en appliquant systématiquement des opérations élémentaires pour transformer la matrice augmentée en une forme échelonnée.
Étape 1 : Élimination Progressive (Forward Elimination)
L’élimination progressive vise à transformer la matrice augmentée en une matrice triangulaire supérieure, c’est-à-dire où tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls.
Procédure :
-
Sélection du Pivot : Pour chaque colonne \( j \), choisir un pivot \( a_{kk} \neq 0 \) situé sur ou en dessous de la diagonale principale.
-
Permutation des Lignes : Si le pivot n’est pas sur la ligne actuelle \( i \), permuter la ligne \( i \) avec la ligne contenant le pivot.
-
Élimination des Éléments Sous le Pivot : Pour chaque ligne \( l > i \), calculer : [ L_l \leftarrow L_l - \frac{a_{lj}}{a_{ij}} L_i ] de sorte que \( a_{lj} = 0 \).
Étape 2 : Remontée (Backward Substitution)
Une fois la matrice triangulaire obtenue, la remontée consiste à résoudre les équations en commençant par la dernière (qui ne contient qu’une inconnue), puis en substituant les valeurs trouvées dans les équations précédentes.
Procédure :
-
Résolution de la Dernière Équation : Trouver la valeur de l’inconnue correspondante.
-
Substitution Récursive : Pour chaque équation \( i \) de \( m \) à 1 : [ x_i = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j \right) ]
Exemple : Résolution par le Pivot de Gauss
Considérons le système :
1. Représentation Matricielle
Matrice augmentée :
2. Élimination Progressive
Étape 1 : Pivot en position (1,1), pivot = 2.
-
Élimination sur la ligne 2 : [ L_2 \leftarrow L_2 - \left( \frac{-3}{2} \right) L_1 ] Calcul : [ L_2 : \begin{cases} -3 - \left( \frac{-3}{2} \times 2 \right) = 0 \ -1 - \left( \frac{-3}{2} \times 1 \right) = 0.5 \ 2 - \left( \frac{-3}{2} \times (-1) \right) = 0.5 \ -11 - \left( \frac{-3}{2} \times 8 \right) = 1 \end{cases} ]
-
Élimination sur la ligne 3 : [ L_3 \leftarrow L_3 - \left( \frac{-2}{2} \right) L_1 ] Calcul : [ L_3 : \begin{cases} -2 - \left( \frac{-2}{2} \times 2 \right) = 0 \ 1 - \left( \frac{-2}{2} \times 1 \right) = 2 \ 2 - \left( \frac{-2}{2} \times (-1) \right) = 1 \ -3 - \left( \frac{-2}{2} \times 8 \right) = 5 \end{cases} ]
Nouvelle matrice :
Étape 2 : Pivot en position (2,2), pivot = 0.5.
- Élimination sur la ligne 3 : [ L_3 \leftarrow L_3 - \left( \frac{2}{0.5} \right) L_2 = L_3 - 4 L_2 ] Calcul : [ L_3 : \begin{cases} 0 - 4 \times 0 = 0 \ 2 - 4 \times 0.5 = 0 \ 1 - 4 \times 0.5 = -1 \ 5 - 4 \times 1 = 1 \end{cases} ]
Matrice finale :
3. Remontée
Équation 3 :
Équation 2 :
Équation 1 :
Solution du Système
6. Conclusion
La méthode du pivot de Gauss est un outil essentiel en algèbre linéaire pour résoudre des systèmes linéaires. Elle repose sur des opérations élémentaires qui préservent l’équivalence du système et permet de le transformer en une forme où les solutions peuvent être obtenues par substitution.
Points Clés :
-
Rigueur des Opérations : Les opérations élémentaires doivent être appliquées avec précision pour assurer l’exactitude des résultats.
-
Importance des Pivots : Le choix approprié des pivots est crucial pour éviter les divisions par zéro et minimiser les erreurs numériques.
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Applications Pratiques : La méthode est largement utilisée en ingénierie, en physique et en informatique pour résoudre des problèmes réels impliquant des systèmes linéaires.