Chapitre I : Mathématiques de Base pour le Mécanicien Amateur
Comment représenter le monde qui nous entoure pour résoudre des problèmes ?
La mécanique utilise des outils mathématiques pour décrire et prédire le comportement des systèmes physiques sous différentes conditions. Dans ce chapitre, nous posons les bases de cette représentation, en introduisant les scalaires et en abordant les notions fondamentales de grandeurs physiques et d’analyse dimensionnelle. Ces concepts sont cruciaux pour aborder les prochaines étapes, où nous explorerons les vecteurs et leurs applications en mécanique.
1. Les Scalaires
En mathématiques, un scalaire est un objet mathématique qui est entièrement décrit par la valeur de sa magnitude. Les scalaires sont donc représenté par de nombres réels (\(\mathbb{R}\)). En mécanique, les scalaires représentent des quantités physiques mesurables qui n’ont pas de direction associée, mais uniquement une magnitude (ou grandeur). Ils sont utilisés pour décrire des propriétés fondamentales telles que la masse, le temps, ou la température.
Ainsi, en considérant les scalaires comme des valeurs de \(\mathbb{R}\), nous pouvons effectuer des opérations classiques comme l’addition, la soustraction ou la multiplication de scalaires, sans se préoccuper d’une orientation spatiale.
In english please !
Scalar: a quantity represented as a real number (\(\mathbb{R}\)) that has magnitude but no direction, used to describe physical properties like mass, time, and temperature.
2. Grandeurs Physiques et Unités
Les scalaires réprésentent souvent des grandeurs physiques et nécessitent des unités pour quantifier leur valeur. Ces grandeurs sont des propriétés d’un objet ou d’un phénomène qui peuvent être mesurées, telles que la longueur, la masse, ou la vitesse. Par exemple :
- La longueur est mesurée en mètres (m),
- La masse en kilogrammes (kg),
- Le temps en secondes (s).
Pour normaliser et faciliter les échanges de données et les calculs, les grandeurs physiques sont exprimées dans le cadre du Système International d’Unités (SI).
2.1 Système International d’Unités (SI)
Le Système International d’Unités (SI) fournit une base cohérente pour la mesure des grandeurs. Les unités SI des grandeurs physiques principales sont résumées ci-dessous :
| Grandeur | Symbole de l’unité | Nom de l’unité |
|---|---|---|
| Longueur | m | Mètre |
| Masse | kg | Kilogramme |
| Temps | s | Seconde |
| Température | K | Kelvin |
| Courant électrique | A | Ampère |
| Quantité de matière | mol | Mole |
| Intensité lumineuse | cd | Candela |
Certaines unités dérivées peuvent s’exprimer à partir des unités de base du système SI en combinant celles-ci selon des relations mathématiques spécifiques. Par exemple, l’unité de force, le Newton (N), se décompose en termes de kilogrammes, mètres, et secondes, puisqu’il correspond à la force nécessaire pour accélérer une masse d’un kilogramme à une vitesse d’un mètre par seconde carré.
Cette décomposition permet de comprendre que le Newton est en réalité une unité composite, construite à partir des unités de masse, longueur, et temps.
Ce principe s’applique également à d’autres unités physiques, telles que :
- Le Joule (J), unité d’énergie, qui s’exprime comme un Newton mètre \((\text{N} \cdot \text{m})\) ou, de façon équivalente, en \(\text{kg} \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\).
- Le Watt (W), unité de puissance, qui est défini comme un Joule par seconde \((\text{J/s})\), soit également \(\text{kg} \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^3}\).
Ces relations montrent comment les unités dérivées peuvent se ramener aux unités de base, facilitant ainsi les calculs et la vérification de la cohérence dimensionnelle dans les équations. Nous verrons plus tard à quoi servent ses équations. Mais avant de les apprendre par coeur, notons qu’il existe une méthode infaillible pour tirer profit du système SI.
3. L’Analyse Dimensionnelle
L’analyse dimensionnelle est un outil qui permet de vérifier la cohérence des équations physiques en se basant sur les unités. En décomposant chaque grandeur en ses dimensions fondamentales (longueur, masse, temps, etc.), on peut évaluer la validité d’une équation ou même esquisser la structure de certaines formules.
3.1 Principe de l’Analyse Dimensionnelle
Une règle clé est que les deux côtés d’une équation doivent avoir les mêmes dimensions. Prenons l’exemple de la vitesse, exprimée par :
où : - \(v\) représente la vitesse (en mètres par seconde, m/s), - \(d\) est la distance (en mètres, m), - \(t\) est le temps (en secondes, s).
Les dimensions de chaque terme sont :
Ce calcul montre que les dimensions de la vitesse \((\text{m/s})\) sont cohérentes avec la définition physique.
In english please !
Dimensional analysis: a method to verify the consistency of physical equations by checking the fundamental units on each side of the equation.
3.2 Applications de l’Analyse Dimensionnelle
L’analyse dimensionnelle nous permet de :
- Vérifier la cohérence des équations,
- Deviner des formules en se basant sur les dimensions des grandeurs,
- Interpréter les phénomènes physiques par le prisme des dimensions fondamentales.
Les tips de top-top
Lors d’un examen, maîtriser l’analyse dimensionnelle peut permettre de vérifier la validité d’une formule sans la mémoriser intégralement. Cette méthode pourra vous sortir de situations délicate en examens !
3.3 Exemples Pratiques
- Énergie cinétique : L’énergie cinétique \(E\) est donnée par :
où \(m\) est la masse (kg) et \(v\) la vitesse (m/s). En termes de dimensions :
- Force : La force \(F\) est définie par la seconde loi de Newton : \(F = ma\), où \(m\) est la masse et \(a\) l’accélération.
Exercice
Supposons qu’une force \(F\) agit sur un objet et que cette force déplace l’objet sur une distance \(d\). Quelle unité obtient-on en multipliant \(F\) par \(d\) ?
En multipliant une force (en Newtons) par une distance (en mètres), on obtient des joules (J), unité de l’énergie, car :
Ce résultat correspond au travail effectué par la force sur la distance \(d\).
Ces exemples montrent l’utilité de l’analyse dimensionnelle pour valider les expressions mathématiques et physiques.
4. Les Vecteurs
Dans les sections précédentes, nous avons étudié les scalaires, des quantités définies dans l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire dans un espace à une dimension. Cependant, pour représenter pleinement les phénomènes du monde réel, il est nécessaire de pouvoir décrire des grandeurs qui possèdent à la fois une magnitude, une direction et un sens. C’est ici que les vecteurs interviennent : ils fournissent un cadre mathématique pour modéliser ces grandeurs multidimensionnelles.
4.1 Définition
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par plusieurs propriétés fondamentales, qui lui permettent de représenter des grandeurs telles que le déplacement, la vitesse, l’accélération, ou la force.
- Direction : La ligne d’action du vecteur, qui décrit l’orientation dans laquelle la grandeur s’applique.
- Sens : Le sens du vecteur correspond au côté de la ligne d’action vers lequel le vecteur pointe.
- Magnitude (ou Norme) : La longueur du vecteur, souvent notée \(||\vec{V}||\) ou \(|\vec{V}|\). Cette quantité positive correspond à la grandeur de la force, de la distance, etc., souvent exprimée en unités physiques (comme les mètres pour la distance ou les newtons pour une force).
- Point d’Application : Le point d’origine du vecteur, à partir duquel il agit.
Dans le cadre de la mécanique, nous considérons les vecteurs dans des espaces à deux ou trois dimensions, notés respectivement \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\). Mathématiquement, un vecteur dans ces espaces peut être représenté par une suite ordonnée de composantes indépendantes qui déterminent une position dans l’espace ou un déplacement par exemple. Dans \(\mathbb{R}^3\), un vecteur \(\vec{V}\) est défini par ses composantes dans les directions \(x\), \(y\), et \(z\) :
où \(V_x\), \(V_y\), et \(V_z\) sont des scalaires indépendants qui représentent les projections du vecteur sur chacun des axes de coordonnées. Cette notation nous permet de manipuler les vecteurs de manière algébrique et de réaliser des opérations telles que l’addition, la soustraction, et la multiplication par un scalaire.
Les vecteurs appartiennent à une structure mathématique plus large appelée espace vectoriel. Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs où deux opérations sont possibles : l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire.
L’addition de vecteurs permet de combiner deux vecteurs pour en obtenir un troisième. Cette addition a des propriétés qui simplifient les calculs : elle est associative et commutative, ce qui signifie que l’ordre d’addition n’importe pas, et chaque vecteur possède un opposé qui, additionné à lui-même, donne un vecteur nul (l’équivalent du zéro).
La multiplication par un scalaire signifie qu’on peut ajuster la longueur d’un vecteur en le multipliant par un nombre (un scalaire), sans modifier sa direction ou en inversant celle-ci si le nombre est négatif. Cette opération est également distributive et associative, et le vecteur reste inchangé si on le multiplie par 1, le scalaire neutre.
Un espace vectoriel permet de manipuler des vecteurs comme des flèches dans l’espace, mais aussi des objets abstraits comme des fonctions, des suites, et des matrices, rendant cette structure très puissante pour l’étude de concepts variés en science et en ingénierie.
4.2 Types de Vecteurs
Les vecteurs se distinguent par leur point d’application et le rôle qu’ils jouent dans la modélisation des phénomènes physiques. Par exemple, un vecteur peut représenter une force ou une position, définie soit par rapport à l’origine d’un système de coordonnées, soit par rapport à un autre objet. Ce point d’application influence alors la façon dont le vecteur agit sur le système. Cependant, dans certains cas, la position du point d’application n’a pas d’importance ; par exemple, une force appliquée sur un solide rigide peut glisser le long de sa ligne d’action sans modifier l’état du solide.
Voici les principaux types de vecteurs selon ces caractéristiques :
- Vecteurs Liés : Ces vecteurs sont attachés à un point d’application fixe. Par exemple, une force appliquée en un point précis d’un objet est un vecteur lié, car son effet dépend de ce point d’application spécifique.
- Vecteurs Glissants : Les vecteurs glissants peuvent se déplacer le long de leur ligne d’action sans modifier l’effet qu’ils produisent. Par exemple, une force appliquée sur un solide rigide est un vecteur glissant : si sa direction passe par le centre de gravité de l’objet, son point d’application le long de cette ligne d’action n’entraînera aucune rotation supplémentaire et son effet restera le même.
4.3 Représentation des Vecteurs
Un vecteur peut être représenté de différentes manières. Géométriquement, il est représenté par une flèche dans l’espace, avec une longueur proportionnelle à la norme du vecteur, une direction et un sens.
Algébriquement on peut representer un vecteur en le décomposant suivant la base de notre espace. La plupart du temps nous utiliserons des Coordonnées Cartésiennes : Dans un espace à \(n\) dimensions, un vecteur est défini par ses composantes selon les axes du système de coordonnées. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^3\), un vecteur \(\vec{V}\) est représenté par :
où \(V_x\), \(V_y\), et \(V_z\) sont les projections de \(\vec{V}\) sur les axes \(x\), \(y\), et \(z\).
La norme du vecteurs (sa longueur) est obtenu grâce à la relation :
4.4 Opérations sur les Vecteurs
Les vecteurs obéissent à des règles d’opérations spécifiques, qui permettent de les manipuler mathématiquement.
4.4.1 L’addition
L’addition de deux vecteurs \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) donne un vecteur résultant \(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\).
Règle du Parallélogramme : Géométriquement, on place les vecteurs de telle sorte que l’origine de \(\vec{B}\) coïncide avec l’extrémité de \(\vec{A}\). Le vecteur résultant est alors la diagonale du parallélogramme formé.
L’addition peut aussi s’effectuer algébriquement en additionnant simplement les composantes des vecteurs. Soit \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) et \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\), deux vecteurs, alors :
4.4.2 La soustraction
La soustraction de vecteurs est définie comme l’addition du vecteur opposé :
Où \(-\vec{B}\) est le vecteur opposé de \(\vec{B}\), ayant la même magnitude mais une direction opposée.
4.4.3 Multiplication d’un Vecteur par un Scalaire
La multiplication d’un vecteur \(\vec{V}\) par un scalaire \(\alpha \in \mathbb{R}\) produit un vecteur \(\alpha \vec{V}\) dont la magnitude est multipliée par \(|\alpha|\) et dont la direction reste la même si \(\alpha > 0\) ou est inversée si \(\alpha < 0\).
4.4.4 Produit Scalaire (Produit Intérieur)
Le produit scalaire entre deux vecteurs \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) est une opération qui associe deux vecteurs à un scalaire :
Où \(\theta\) est l’angle entre \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\). En coordonnées cartésiennes :
Le produit scalaire mesure la projection de l’un des vecteurs sur l’autre. Comme sont nom l’indique, le résultat est un scalaire !
4.4.5 Produit Vectoriel (Produit Extérieur)
Le produit vectoriel entre deux vecteurs \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) dans \(\mathbb{R}^3\) est un vecteur \(\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}\) dont la magnitude est donnée par :
La direction de C est toujours orthogonale (perpendiculaire) au plan formé par \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\), selon la règle de la main droite.
Il est toutefois plus commun de calculer le produit vectoriel en utilisant les composantes individuelles des vecteurs (coordonnées) en utilisant la formule suivante :
Le produit vectoriel est utilisé pour calculer des moments, des couples, et est essentiel en mécanique pour analyser les rotations et les forces perpendiculaires.
Pour simplifier le calcul et retrouver l’équation vous pouvez utiliser la méthode suivante :
- Écrivez les vecteurs en colonnes et ajoutez une colonne vide pour le résultat :
- Barrez la premières lignes et réécrivez la en bas, puis calculer la composante \(x\) du résultat :
- Répéter pour les colonnes \(y\) et \(z\) :
4.5 Propriétés Algébriques
Les vecteurs obéissent à des propriétés algébriques similaires à celles des nombres réels, mais adaptées à leurs caractéristiques multidimensionnelles.
Propriétés de l’Addition :
-
Commutativité : \(\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}\)
-
Associativité : \((\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})\)
-
Élément Neutre : Il existe un vecteur nul \(\vec{0}\) tel que \(\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}\)
-
Inverse Additif : Pour tout vecteur \(\vec{A}\), il existe un vecteur \(-\vec{A}\) tel que \(\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}\)
Propriétés de la Multiplication par un Scalaire
-
Associativité : \((\alpha \beta) \vec{A} = \alpha (\beta \vec{A})\)
-
Distributivité sur les Vecteurs : \(\alpha (\vec{A} + \vec{B}) = \alpha \vec{A} + \alpha \vec{B}\)
-
Distributivité sur les Scalaires : \((\alpha + \beta) \vec{A} = \alpha \vec{A} + \beta \vec{A}\)
-
Élément Neutre : \(1 \vec{A} = \vec{A}\)
Ces propriétés permettent de manipuler les vecteurs de manière algébrique et sont essentielles pour le développement de l’algèbre vectorielle.
5. Bases et Composantes des Vecteurs
Dans un espace vectoriel, les vecteurs peuvent être exprimés en termes de bases.
5.1 Base de l’Espace Vectoriel
Une base d’un espace vectoriel \(\mathbb{V}\) est un ensemble de vecteurs \(\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}\) linéairement indépendants qui engendrent \(V\). Tout vecteur \(\vec{V} \in \mathbb{V}\) peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs :
où \(v_i \in \mathbb{R}\) (ce sont des scalaires) sont les composantes du vecteur \(\vec{V}\) dans la base choisie.
5.2 Base orthonormée
Pour faciliter les calculs et les projections, on utilise fréquemment une base orthonormée, constituée de vecteurs unitaires orthogonaux. Dans une base orthonormée, les vecteurs unitaires \(\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}\) sont perpendiculaires entre eux :
Le produit scalaire entre deux vecteurs unitaires différents est nul, car ils sont perpendiculaires :
Ces propriétés simplifient les calculs en mécanique, car elles permettent d’isoler les contributions des vecteurs le long de chaque axe indépendamment.
6. Formules usuelles
En mécanique, la trigonométrie est essentielle pour déterminer des inconnues, réaliser des projections et poser correctement les problèmes. Un théorème fondamental est le théorème d’Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore), qui permet de relier les longueurs des côtés et les angles dans un triangle.
Si l’on considère un triangle avec les côtés \(A\), \(B\), et \(C\) opposés respectivement aux angles \(\alpha\), \(\beta\), et \(\gamma\), on peut écrire :
6.2 Vecteurs dans \(R^3\)
Les vecteurs en 3 dimensions peuvent être exprimés de différentes façon selon les situations :
- Par les composantes indépendantes (\(\vec{V}=(V_x, V_y, V_z)\))
- Par deux angles (les angles d’azimut et d’élévation) et une intensité
- Par trois angles et une intensité
Un vecteur en 3D peut être décrit à partir de deux angles : l’azimut \(\beta\) et l’élévation \(\alpha\).
La projection de \(\vec{F}\) dans le plan \(xy\) est notée \(F_{xy}\), avec :
La composante verticale est notée \(F_z\), avec :
On peut donc écrire :
La composante \(F_x\) dans la direction \(x\) est donnée par :
Ici, \(\beta\) est l’angle d’azimut, mesuré dans le plan \(xy\).
Un vecteur en 3D peut également être exprimé à partir de trois angles formant les projections dans chaque direction :
où \(\Psi\), \(\Phi\), et \(\theta\) sont les angles formés entre le vecteur \(\vec{F}\) et les axes \(x\), \(y\), et \(z\) respectivement.
Vecteur Position
En mécanique, un objet peut être modélisé comme un point grâce à un vecteur position qui décrit sa localisation par rapport à une base donnée. Ce vecteur position relie un point d’origine (comme le point \(O\)) au point \(A\), et se note \(\vec{OA} = (x_a, y_a, z_a)\).
La position d’un point peut aussi être relative à un autre point. Par exemple, pour obtenir le vecteur \(\vec{AB}\) reliant deux points \(A\) et \(B\), on utilise la relation suivante :
Cette formulation permet de poser les bases pour l’étude des forces en mécanique, où les vecteurs position sont essentiels pour modéliser et analyser les interactions entre les objets.